Question

8．设函数f（x）=$\frac{x}{lnx}$-ax．
（1）若a≥$\frac{1}{4}$，求函数f（x）的单调区间；
（2）若存在x₁，x₂∈[e，e²]，使f（x₁）≤f′（x₂）+a成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出导数，运用配方，结合条件，可得导数小于0，即可得到所求单调区间；
（2）命题“若存在x₁，x₂∈[e，e²]，使f（x₁）≤f′（x₂）-a成立”，等价于“当x∈[e，e²]时，有f（x）_min≤f′（x）_max+a”，由此利用导数性质结合参数分离，求出实数a的取值范围．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{x}{lnx}$-ax的导数为
f′（x）=$\frac{lnx-1}{（lnx）^{2}}$-a=$\frac{lnx-1-al{n}^{2}x}{（lnx）^{2}}$，
由-a（lnx）²+lnx-1=-a（lnx-$\frac{1}{2a}$）²+$\frac{1}{4a}$-1，
由a≥$\frac{1}{4}$，可得-a≤-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4a}$-1≤0，
即有f′（x）≤0，f（x）递减．
则当a≥$\frac{1}{4}$，函数f（x）的单调减区间为（0，1），（1，+∞）；
（2）命题“若存在x₁，x₂∈[e，e²]，使f（x₁）≤f′（x₂）+a成立”，
即为“当x∈[e，e²]时，有f（x）_min≤（f′（x）+a）_max”，
由（1）知，当x∈[e，e²]时，lnx∈[1，2]，$\frac{1}{lnx}$∈[$\frac{1}{2}$，1]，
f′（x）+a=-（$\frac{1}{lnx}$-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$，
则（f′（x）+a）_max=$\frac{1}{4}$，
问题等价于：“当x∈[e，e²]时，有f（x）≤$\frac{1}{4}$成立”，
即有$\frac{x}{lnx}$-ax≤$\frac{1}{4}$，即为a≥$\frac{1}{lnx}$-$\frac{1}{4x}$在[e，e²]成立，
令g（x）=$\frac{1}{lnx}$-$\frac{1}{4x}$，g′（x）=$\frac{-1}{x（lnx）^{2}}$+$\frac{1}{4{x}^{2}}$
=$\frac{l{n}^{2}x-4x}{4{x}^{2}（lnx）^{2}}$，由ln²x∈[1，4]，4x∈[4e，4e²]，
即有g′（x）＜0，g（x）在[e，e²]上递减，
则x=e²时，g（x）取得最小值，且为$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4{e}^{2}}$，
即有a≥$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4{e}^{2}}$．

点评 本题主要考查函数、导数等基本知识．考查运算求解能力及化归思想、函数方程思想、分离参数和构造函数思想的合理运用，注意导数性质的合理运用．