Question

【题目】在平面直角坐标系 中，已知曲线 ： （ 为参数），以平面直角坐标系 的原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线 ： .
（1）将曲线 上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 、2倍后得到曲线 ，试写出直线 的直角坐标方程和曲线 的参数方程；
（2）在曲线 上求一点 ，使点 到直线 的距离最大，并求出此最大值.

Answer 1

【答案】
（1）解: 由题意知，直线 的直角坐标方程为：

∵曲线 的直角坐标方程为：

∴曲线 的参数方程为： （ 为参数）

（2）解: 设点 的坐标 ，则点 到直线 的距离为：

，

∴当 时，点 ，此时

【解析】(1)由题意利用极坐标和直角坐标的互化关系得出直线的l的普通方程，根据图像的变换求出曲线的普通方程再转化为参数方程。(2)由题意可直接设出点p在极坐标下的坐标，代入到点到直线的距离公式中，结合正弦值得最大值得出距离的最大值。