Question

18．已知函数f（x）=|$\frac{1}{x}$-1|．
（1）求函数y=f（x）-3的零点；
（2）利用定义法判断函数f（x）在（0，1]上的单调性，并求出函数f（x）的单调区间；
（3）若存在实数a、b（a＜b且a≠0），使得集合{y|y=f（x），a≤x≤b}=[ma，mb]，求非零实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）画出函数图象，利用函数图象的交点问题判断即可．
（2）根据单调性的定义证明，运用图象写出单调区间，结合导数判断即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）=|$\frac{1}{x}$-1|．
∴画出函数图象；

根据图象判断有2个交点，
故函数y=f（x）-3有2个零点；
（2）设任意两个实数x₁，x₂∈（0，1]，且x₁＜x₂，
$\frac{1}{{x}_{1}}$$＞\frac{1}{{x}_{2}}$≥1，
∴$\frac{1}{{x}_{1}}$-1$＞\frac{1}{{x}_{2}}$-1≥0，
∵函数f（x）=|$\frac{1}{x}$-1|．
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴（-∞，0），（1，+∞）单调递增；（0，1）单调递减
（3）根据题意与函数关系式得出；
f（x）与y=mx有2个交点，
根据图象可得出：y=1-$\frac{1}{x}$，x＞1，与y=mx有2个交点，
y′=$\frac{1}{{x}^{2}}$，∴$\frac{1}{{x}_{0}^{2}}$=m，x₀=$\frac{1}{\sqrt{m}}$，切点为（$\frac{1}{\sqrt{m}}$，$\sqrt{m}$）在y=1-$\frac{1}{x}$，x＞1的图象上，
∴$\sqrt{m}$=$1-\sqrt{m}$，m=$\frac{1}{4}$，
∴m的范围为：（0，$\frac{1}{4}$）

点评 本题综合考察了函数性质，定义，运用数形结合的思想解决零点问题，属于难度较大的题目．