Question

16．不等式kx+1≤e^x恒成立，则实数k的取值是1
不等式x+a≤e^x恒成立，则实数a的取值范围是（-∞，1]
不等式x+1≤ae^x恒成立．则实数α的取值范围是[1，+∞）．

Answer 1

分析 （1）因为y=kx+1恒过点（0，1），且点（0，1）在y=e^x，所以y=kx+1是y=e^x的切线方程，根据导数求出k的值即可．
（2）把给出的不等式分离参数a，然后构造辅助函数，由导函数分析导函数的最小值，则答案可求，
（3）由（1）可知k=y′|_x=0=ae⁰≥1，解得即可．

解答 解：（1）∵y=kx+1恒过点（0，1），且点（0，1）在y=e^x，
∴y=kx+1是y=e^x的切线方程，
∴k=y′|_x=0=e⁰=1，
∴不等式kx+1≤e^x恒成立，则实数k=1，
（2）解：对任意实数x，不等式x+a≤e^x恒成立恒成立，即a≤e^x-x恒成立，
所以 a≤e^x-x的最小值．
令 f（x）=e^x-x，则 f'（x）=e^x-1，
由x＜0时f'（x）＜0，当x=0时，f'（x）=0，当x＞0时f'（x）＞0，
那么f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
所以f（x）在x=0处取最小值f（0）=1，
因此，a的取值范围是（-∞，1]．
（3）由（1）知，y=x+1是y=e^x的切线方程，
∵x+1≤ae^x恒成立，
∴k=y′|_x=0=ae⁰≥1，
∴当a≥1时，x+1≤ae^x恒成立，
∴a的取值范围是[1，+∞）．
故答案为：（1）：1，（2）：（-∞，1]，（3）：[1，+∞）．

点评 本题考查了导数在最大值最小值中的应用，考查了分离变量法及函数构造法，是中档题．