Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，PA⊥底面ABCD，E为AB的中点，且PA=AB．
（1）求证：平面PCE⊥平面PCD；
（2）求点D到平面PCE的距离．

Answer 1

分析：（1）欲证平面PCE⊥平面PCD，根据面面垂直的判定定理可知在平面PCE内一直线与平面PCD垂直，取PD的中点F，取PC的中点G，连接EG、FG，EG⊥平面PCD，EG在平面PCE内，满足定理所需条件；
（2）在平面PCD内，过点D作DH⊥PC于点H，则DH为点D到平面PCE的距离，在Rt△PAD中，求出PD，在Rt△PCD中，求出CD和PC，从而求出DH．

解答：（1）证明：取PD的中点F，则AF⊥PD．
∵CD⊥平面PAD，∴AF⊥CD．
∴AF⊥平面PCD．
取PC的中点G，连接EG、FG，可证AFGE为平行四边形．
∴AF∥EG．∴EG⊥平面PCD．
∵EG在平面PCE内，
∴平面PCE⊥平面PCD．
（2）解：在平面PCD内，过点D作DH⊥PC于点H．
∵平面PCE⊥平面PCD，∴DH⊥平面PCE，即DH为点D到平面PCE的距离．
在Rt△PAD中，PA=AD=a，PD=

2

a．
在Rt△PCD中，PD=

2

a，CD=a，PC=

3

a，
∴DH=

PD•DC

PC

=

6

3

a．

点评：本题主要考查了平面与平面垂直的判定，以及点到面的距离的计算，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，化归与转化思想，属于中档题．