Question

已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（1）=2，且f（x）的导数f′（x）在R上恒有f′（x）＜1 （x∈R），则不等式f（x³）＞x³+1的解集为

（-∞，1）

．

Answer 1

分析：构造函数g（t）=f（t）-t-1，g'（t）=f′（t）-1＜0，从而可得g（t）的单调性，结合f（1）=2，可求得g（1）=1，然后求出不等式的解集即可．

解答：解：设x³=t，则f（x³）＞x³+1转化为f（t）＞t+1．
令g（t）=f（t）-t-1，
∵f′（x）＜1（x∈R），∴f′（t）＜1．
∴g′（t）=f′（t）-1＜0，
∴g（t）=f（t）-t-1为减函数，
又f（1）=2，
∴g（1）=f（1）-1-1=0，
∴不等式f（t）＞t+1的解集?g（x）=f（t）-t-1＞0=g（1）的解集，
即g（t）＞g（1），又g（t）=f（t）-t-1为减函数，
∴t＜1，即t∈（-∞，1）．
故答案为：（-∞，1）．

点评：本题利用导数研究函数的单调性，可构造函数，考查所构造的函数的单调性是关键，也是难点所在，属于中档题．