Question

已知数列{a_n}满足任意的m，n∈N^*有a_m-n=a_m+a_n+2mn成立，且a₁=1，则a₂₀₁₄的值为

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：在数列递推式中取n=1得到a_m-1=a_m+a₁+2m，然后利用累加法求出数列的通项，则a₂₀₁₄的值可求．

解答： 解：对于任意的m，n∈N^*有a_m-n=a_m+a_n+2mn成立，
取n=1，得a_m-1=a_m+a₁+2m，
又a₁=1，
∴a_m-a_m-1=-2m-1．
则a_n-a_n-1=-2n-1（n≥2）．
∴a₂-a₁=-5．
a₃-a₂═-7．
…
a_n-a_n-1=-2n-1．
累加得：a_n-a₁=-（5+7+…+（2n+1））=-

(n-1)(5+2n+1)

2

=-(n-1)(n+3)．
∴an=4-2n-n2．
则a₂₀₁₄=-406022．
故答案为：-406022．

点评：本题考查数列递推式，考查了累加法求数列的通项公式，是中档题．