Question

在正三棱锥P-ABC中，E、F分别是PA、AB的中点，若∠CEF=90°，且AB=

2

，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为

 

．

Answer 1

分析：根据题意推出EF⊥平面PAC，即PB⊥平面PAC，∠APB=∠BPC=∠APC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的表面积．

解答：解：∵三棱锥P-ABC正棱锥，∴PB⊥AC（对棱互相垂直）∴EF⊥AC
又∵EF⊥CE而CE∩AC=C，∴EF⊥平面PAC即PB⊥平面PAC
∴∠APB=∠BPC=∠APC=90°，，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球
∴2R=

3

，∴S=4πR²=π•（

3

）²=3π，
故答案为3π．

点评：本题是基础题，考查三棱锥的外接球的表面积，考查空间想象能力，三棱锥扩展为正方体，它的对角线长就是外接球的直径，是解决本题的关键．