Question

18．三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AA₁=AB=AC=1，E、F分别是CC₁、BC的中点，AE⊥A₁B₁
（1）证明：AB⊥AC
（2）在棱A₁B₁上是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{14}}{14}$？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）推导出AB⊥AE，ABy⊥AC，从而AB⊥面A₁ACC₁，由此能证明AB⊥AC．
（2）以A为原点，AB，AC，AA₁所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出棱A₁B₁上存在中点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值．

解答 证明：（1）∵AE⊥A₁B₁，A₁B₁∥AB，∴AB⊥AE，
又∵AE∩AA₁=A，∴AB⊥面A₁ACC₁，
又∵AC?面A₁ACC₁，∴AB⊥AC．
解：（2）以A为原点，AB，AC，AA₁所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），E（0，1，$\frac{1}{2}$），F（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$，0），A₁（0，0，1），B₁（1，0，1），
假设棱A₁B₁上存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{14}}{14}$，
设D（λ，0，1），设平面DEF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{FE}$=（-$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{DF}$=（$\frac{1}{2}-λ$，$\frac{1}{2}，-1$），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FE}=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=（\frac{1}{2}-λ）x+\frac{1}{2}y-z=0}\end{array}\right.$，取x=3，得$\overrightarrow{n}$=（3，1+2λ，2-2λ），
平面ABC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
∵平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{14}}{14}$，
∴|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{|2-2λ|}{\sqrt{9+（1+2λ）^{2}+4（1-λ）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{14}}{14}$，
解得$λ=\frac{1}{2}$或$λ=\frac{7}{4}$（舍）．
∴棱A₁B₁上存在中点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{14}}{14}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．