Question

给出以下5个命题：
①曲线x²-（y-1）²=1按

a

=(1，-2)平移可得曲线（x+1）²-（y-3）²=1；
②设A、B为两个定点，n为常数，|

PA

|-|

PB

|=n，则动点P的轨迹为双曲线；
③若椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，P是该椭圆上的任意一点，延长F₁P到点M，使|F₂P|=|PM|，则点M的轨迹是圆；
④A、B是平面内两定点，平面内一动点P满足向量

AB

与

AP

夹角为锐角θ，且满足 |

PB

| |

AB

| +

PA

•

AB

=0，则点P的轨迹是圆（除去与直线AB的交点）；
⑤已知正四面体A-BCD，动点P在△ABC内，且点P到平面BCD的距离与点P到点A的距离相等，则动点P的轨迹为椭圆的一部分．
其中所有真命题的序号为

 

．

Answer 1

分析：①原曲线即为线x²-（y-1）²=1，按向量平移即是把函数向右平移1个单位，向下平移2个单位后得到曲线．
②不正确．若动点P的轨迹为双曲线，则|k|要小于A、B为两个定点间的距离；
③充分利用平面几何图形的条件特点，结合椭圆的定义，得到|F₁Q|为定长，从而确定动点Q的轨迹是个什么图形．
④以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，先设P（x，y），欲动点P的轨迹C的方程，即寻找x，y之间的关系，结合向量的坐标运算即可得到．
⑤由题设条件将点P到平面ABC距离与到点V的距离相等转化成在面VBC中点P到V的距离与到定直线BC的距离比是一个常数，依据圆锥曲线的第二定义判断出其轨迹的形状．

解答：解：①原曲线即为x²-（y-1）²=1，则平移后的曲线C为（x-1）²-（y+1）²=1；①不正确．
②若动点P的轨迹为双曲线，则|k|要小于A、B为两个定点间的距离．当|k|大于A、B为两个定点间的距离时动点P的轨迹不是双曲线．错；
③∵|PF₁|+|PF₂|=2a，|PQ|=|PF₂|，
∴|PF₁|+|PF₂|=|PF₁|+|PQ|=2a，
即|F₁Q|=2a，
∴动点Q到定点F₁的距离等于定长2a，故动点Q的轨迹是圆．故答案：圆．正确；
④以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，
设A（-a，0），B（a，0），P（x，y），
则

AB

=（2a，0），

AP

=（x+a，y），

PB

=（a-x，-y），代入
|

PB

||

AB

|+

PA

•

AB

=0得 2a

(a-x)2+y2

-2a(x+a)=0；
整理得y²=4ax，
故点P的轨迹是抛物线（除去与直线AB的交点），
故错．
⑤正四面体V-ABC∴面VBC不垂直面ABC，过P作PD⊥面ABC于D，过D作DH⊥BC于H，连接PH，
可得BC⊥面DPH，所以BC⊥PH，故∠PHD为二面角V-BC-A的平面角令其为θ
则Rt△PGH中，|PD|：|PH|=sinθ（θ为S-BC-A的二面角）．
又点P到平面ABC距离与到点V的距离相等，即|PV|=|PD|
∴|PV|：|PH|=sinθ＜1，即在平面VBC中，点P到定点V的距离与定直线BC的距离之比是一个常数sinθ，
面VBC不垂直面ABC，所以θ是锐角，故常数sinθ＜1
故由椭圆定义知P点轨迹为椭圆在面SBC内的一部分．故正确．
故答案为：③⑤

点评：本题主要考查了曲线的平移，向量共线的坐标表示，直线与椭圆的相交关系的综合应用，试题的思路比较清晰，但需要考生具备一定的运算能力及逻辑推理能力．本题中求轨迹方程的方法及定义法．定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．