Question

（2013•青岛一模）已知a，b，c为△ABC的内角A，B，C的对边，满足

sinB+sinC

sinA

=

2-cosB-cosC

cosA

，函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间[0，

π

3

]上单调递增，在区间[

π

3

，

2π

3

]上单调递减．
（Ⅰ）证明：b+c=2a；
（Ⅱ）若f(

π

9

)=cosA，证明：△ABC为等边三角形．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过已知表达式，去分母化简，利用两角和与差的三角函数，化简表达式通过正弦定理直接推出b+c=2a；
（Ⅱ）利用函数的周期求出ω，通过f(

π

9

)=cosA，求出的值，利用余弦定理说明三角形是正三角形，即可．

解答：（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵

sinB+sinC

sinA

=

2-cosB-cosC

cosA

∴sinBcosA+sinCcosA=2sinA-cosBsinA-cosCsinA
∴sinBcosA+cosBsinA+sinCcosA+cosCsinA
=2sinAsin（A+B）+sin（A+C）
=2sinA…（3分）
sinC+sinB=2sinA…（5分）
所以b+c=2a…（6分）
（Ⅱ）由题意知：由题意知：

2π

ω

=

4π

3

，解得：ω=

3

2

，…（8分）
因为f(

π

9

)=sin

π

6

=

1

2

=cosA，A∈（0，π），所以A=

π

3

…（9分）
由余弦定理知：cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

…（10分）
所以b²+c²-a²=bc因为b+c=2a，所以b2+c2-(

b+c

2

)2=bc，
即：b²+c²-2bc=0所以b=c…（11分）
又A=

π

3

，所以△ABC为等边三角形．…（12分）

点评：本题考查三角函数的化简求值，两角和与差的三角函数，正弦定理与余弦定理的应用，考查计算能力．