Question

【题目】某贫困地区几个丘陵的外围有两条相互垂直的直线型公路，，以及铁路线上的一条应开凿的直线穿山隧道，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路，和山区边界的直线型公路，以，所在的直线分别为轴，轴，建立平面直角坐标系，如图所示，山区边界曲线为，设公路与曲线相切于点.

（1）设公路交轴，轴分别为两点，若公路的斜率为-1，求的长；

（2）当公路的长度最短时，设公路交轴，轴分别为，两点，并测得四边形中，，，千米，千米，求应开凿的隧道的长度.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）设切点，求导得到，解得，得到，，解得答案.

（2）根据均值不等式得到的最小值为，根据余弦定理得到，根据正弦定理得到，利用勾股定理得到答案.

（1）设切点，则，则，取，

解得或（舍去），故，直线，

故，，故.

（2）设切点，，，则切线方程为，

解得，，故，

当时等号成立，故的最小值为.

在中，根据余弦定理：，

故，

根据正弦定理：，解得，.

故，根据勾股定理：，故.