【题目】设椭圆,定义椭圆C的“相关圆”E为:
.若抛物线
的焦点与椭圆C的右焦点重合,且椭圆C的短轴长与焦距相等.
(1)求椭圆C及其“相关圆”E的方程;
(2)过“相关圆”E上任意一点P作其切线l,若l 与椭圆交于A,B两点,求证:
为定值(
为坐标原点);
(3)在(2)的条件下,求面积的取值范围.
【答案】(1),
;(2)证明见解析;(3)
.
【解析】
(1)由题设知,又
,从而可得
,得椭圆方程,及相关圆方程;
(2)对直线斜率进行讨论,斜率不存在时,直接写出直线
方程,求出
坐标,得
,
斜率存在时,设直线方程为
,与椭圆方程联立方程组,消元后得关于
的二次方程,有韦达定理得
,由直线与圆相切得
关系,计算
也可得
,定值.
(3)由于是“相关圆”半径,所以
,结合韦达定理求得
,并得到其范围,从而得面积的范围.
(1)抛物线的焦点是
,与椭圆的一个焦点重合,∴
,又
,所以
,
椭圆方程为,“相关圆”
的方程为
.
(2)当直线斜率不存在时,不妨设其方程为
,则
,可得
.
当直线斜率存在时,设其方程为
,设
,由
得
,
,即
,
由韦达定理得,
.
因为直线与圆相切,所以
,整理得
,
所以,所以
,
,为定值.
(3)由于,因此求
面积的取值范围只要求弦长
的取值范围.
当直线斜率不存在时,
,
,
当直线斜率存在时,
,
时,
0,
时,
,
∴,即
,当且仅当
即
时,
.
所以的取值范围是
,
故面积的取值范围是
.
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【题目】已知椭圆:
(
),过原点的两条直线
和
分别与
交于点
、
和
、
,得到平行四边形
.
(1)当为正方形时,求该正方形的面积
.
(2)若直线和
关于
轴对称,
上任意一点
到
和
的距离分别为
和
,当
为定值时,求此时直线
和
的斜率及该定值.
(3)当为菱形,且圆
内切于菱形
时,求
,
满足的关系式.
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【题目】已知椭圆的离心率为
,
,
分别是椭圆的左右焦点,过点
的直线交椭圆于
,
两点,且
的周长为12.
(Ⅰ)求椭圆的方程
(Ⅱ)过点作斜率为
的直线
与椭圆
交于两点
,
,试判断在
轴上是否存在点
,使得
是以
为底边的等腰三角形若存在,求点
横坐标的取值范围,若不存在,请说明理由.
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【题目】已知函数的图象过点
和点
.
(1)求函数的最大值与最小值;
(2)将函数的图象向左平移
个单位后,得到函数
的图象;已知点
,若函数
的图象上存在点
,使得
,求函数
图象的对称中心.
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【题目】已知圆,线段
、
都是圆
的弦,且
与
垂直且相交于坐标原点
,如图所示,设△
的面积为
,设△
的面积为
.
(1)设点的横坐标为
,用
表示
;
(2)求证:为定值;
(3)用、
、
、
表示出
,试研究
是否有最小值,如果有,求出最小值,并写出此时直线
的方程;若没有最小值,请说明理由.
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【题目】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是( )
A. 消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米
B. 以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多
C. 甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油
D. 某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油
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【题目】已知顶点为原点的抛物线C的焦点与椭圆的上焦点重合,且过点
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若抛物线上不同两点A,B作抛物线的切线,两切线的斜率,若记AB的中点的横坐标为m,AB的弦长
,并求
的取值范围.
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【题目】已知二次函数的图象的顶点坐标为
,且过坐标原点O,数列
的前n项和为
,点
(
)在二次函数
的图象上.
(1)求数列的表达式;
(2)设(
),数列
的前n项和为
,若
对
恒成立,求实数m的取值范围;
(3)在数列中是否存在这样的一些项,
,
,
,…
,…(
),这些项能够依次构成以
为首项,q(
,
)为公比的等比数列
?若存在,写出
关于k的表达式;若不存在,说明理由.
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