【题目】在边长为2的菱形中,,将菱形沿对角线对折,使二面角的余弦值为,则所得三棱锥的内切球的表面积为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
作出图形,利用菱形对角线相互垂直的性质得出DN⊥AC,BN⊥AC,可得出二面角B﹣AC﹣D的平面角为∠BND,再利用余弦定理求出BD,可知三棱锥B﹣ACD为正四面体,可得出内切球的半径R,再利用球体的表面积公式可得出答案.
如下图所示,
易知△ABC和△ACD都是等边三角形,取AC的中点N,则DN⊥AC,BN⊥AC.
所以,∠BND是二面角B﹣AC﹣D的平面角,过点B作BO⊥DN交DN于点O,可得BO⊥平面ACD.
因为在△BDN中,,所以,BD2=BN2+DN2﹣2BNDNcos∠BND,
则BD=2.
故三棱锥A﹣BCD为正四面体,则其内切球半径为正四面体高的,又正四面体的高为棱长的,故.
因此,三棱锥A﹣BCD的内切球的表面积为.
故选:C.
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【题目】某工厂有甲、乙两生产车间,其污水瞬时排放量(单位:)关于时间(单位:)的关系均近似地满足函数,其图象如图所示:
(1)根据图象求函数解析式;
(2)若甲车间先投产,1小时后乙车间再投产,求该厂两车间都投产时刻的污水排放量;
(3)由于受工厂污水处理能力的影响,环保部门要求该厂两车间任意时刻的污水排放量之和不超过,若甲车间先投产,为满足环保要求,乙车间比甲车间至少需推迟多少小时投产?
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【题目】纸上写有1,2,…,n这n个正整数,第1步划去前面4个数1,2,3,4在n的后面写上划去的4个数的和10;第2步再划去前面的4个数5,6,7,8在最后写上划去的4个数的和26:如此下去(即每步划去前面4个数,在最后面写上划去的4个数的和)
(1)若最后只剩下一个数,则n应满足的充要条件是什么?
(2)取n=2002到最后只剩下一个数为止,所有写出的数(包括原来的1,2…,2002)的总和是多少?
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【题目】一幅标准的三角板如图(1)中,为直角,,为直角,,且,把与拼齐使两块三角板不共面,连结如图(2).
(1)若是的中点,求证:;
(2)在《九章算术》中,称四个面都是直角三角形的三棱锥为“鳖臑”,若图(2)中,三棱锥的体积为,则图(2)是否为鳖臑?说明理由.
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【题目】已知关于的一元二次函数,从集合中随机取一个数作为此函数的二次项系数,从集合中随机取一个数作为此函数的一次项系数.
(1)若,,求函数有零点的概率;
(2)若,求函数在区间上是增函数的概率.
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