Question

已知直线l：y=k(x+2

2

)交椭圆x²+9y²=9于A、B两点，若|AB|=2，则k的值为（　　）

• A．-

  3

  3

• B．

  3

  3

• C．±

  3

  3

• D．±

  3

Answer 1

分析：确定椭圆的焦点，直线过椭圆的左焦点，再利用椭圆的定义求得弦长，即可求得k的值

解答：解：椭圆x²+9y²=9化为

x2

9

+y2=1，
∴椭圆的焦点坐标为（±2

2

，0）
∵直线l：y=k(x+2

2

)，
∴直线过椭圆的左焦点F
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴|AB|=|AF|+|BF|=e（x₁+x₂）+2a=

2 2

3

（x₁+x₂）+6
直线l：y=k(x+2

2

)代入椭圆x²+9y²=9，可得（1+9k²）x²+36

2

k2x+72k²-9=0
∴x₁+x₂=-

36 2 k2

1+9k2

∴|AB|=-

48k2

1+9k2

+6
∵|AB|=2，∴

48k2

1+9k2

=4
∴k=±

3

3

故选C．

点评：本题考查直线与椭圆的综合，考查过焦点的弦长的求解，解题的关键是确定直线过焦点，正确运用椭圆的定义．