Question

已知圆C:(x-1)²+y²=r²(r＞1),设M为圆C与x轴负半轴的交点,过点M作圆C的弦MN,并使它的中点P恰好落在y轴上.

(1)当r=2时,求满足条件的P点的坐标;

(2)当r∈(1,+∞)时,求点N的轨迹E的方程;

(3)若A(x₁,2)、B(x₂,y₂)、C(x₀,y₀)是E上不同的点,且AB⊥BC,求y₀的取值范围.

Answer 1

解:(1)当r=2时,M(-1,0),设P(0,b),由题意得N(1,2b),所以(1-1)²+(2b)²=2².解得b=±1,

故所求点P的坐标为(0,-1)或(0,1).

(2)由条件知M(-r+1,0),设P(0,b),N(x,y),则x=r-1,

所以(r-1-1)²+y²=r²,即y²=4r-4=4x.

所以点N的轨迹方程为y²=4x.

(3)由(2)知A(1,2),B(,y₂),C(,y₀),y₀≠2,y₀≠y₂,则AB=(,y₂-2),=(,y₀-y₂),

又因为AB⊥BC,所以AB·BC=0,

×+(y₂-2)(y₀-y₂)=0.

整理得y₂²+(y₀+2)y₂+16+2y₀=0,则此方程有解,

所以Δ=(y₀+2)²-4×(16+2y₀)≥0,

解得y₀≤-16或y₀≥10.10分

当y₀=-6时,B(4,2),C(9,-6),故符合条件.

当y₀=10时,B(9,-6),C(25,10),故符合条件.

所以点C的纵坐标y₀的取值范围是(-∞,-6］∪［10,+∞).