Question

．设直线与抛物线交于不同两点、，点为抛物线准线上的一点。
（I）若，且三角形的面积为4,求抛物线的方程；
（II）当为正三角形时，求出点的坐标。

Answer 1

（I）；（II） ， 

本试题主要是考查了直线与抛物线的位置关系的运用，求解抛物线的方程，以及正三角形中边的关系的运用。
（1）利用直线方程与抛物线方程联立，得到满足三角形面积的参数p的值，得到抛物线方程。
（2）将含有参数t的直线与抛物线方程联立，那么可知韦达定理中坐标的关系式，以及正三角形中边的坐标关系，进而分析得到参数t的值和点D的坐标。
解：（I）直线过焦点
时，不妨设，则,
又点到直线的距离 
所以=4
抛物线的方程为                  …
…4分
（II）设
由得则
从而
线段AB的中点为             …………6分
由得,即，解得
从而
……10分


由得到= ， …………13分
解                …………14分
此时，点   …………15分