Question

【题目】按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为 ；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为 ．如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为h1和h2 ， 则他对这两种交易的综合满意度为 ．现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为mAm元和mB元，甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲 ， 乙卖出A与买进B的综合满意度为h乙 ．
（1）求h甲和h乙关于mA、mB的表达式；当mA= mB时，求证：h甲=h乙；
（2）设mA= mB ， 当mA、mB分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：h甲= ，h乙= ，mA∈[3，12]，mB∈[5，20]

当mA= mB时，h甲= ，h乙= ，

∴h甲=h乙

（2）解：当mA= mB时，h甲= = ，

由mB∈[5，20]得 ∈[ ， ]，故当 = ，

即mB=20，mA=12时，甲乙两人同时取到最大的综合满意度为

【解析】（1）表示出甲和乙的满意度，整理出最简形式，在条件mA= mB时，表示出要证明的相等的两个式子，得到两个式子相等．（2）在上一问表示出的结果中，整理出关于变量的符合基本不等式的形式，利用基本不等式求出两个人满意度最大时的结果，并且写出等号成立的条件．