Question

设函数f(x)＝4x³＋ax²＋bx＋5在x＝与x＝－1时有极值.
(1)写出函数的解析式；
(2)指出函数的单调区间；
(3)求f(x)在[－1，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

(1) f(x)＝ 4x³－3x²－18x＋5
(2) (－1，)
(3) f(x)在[－1，2]上的最小值是－,最大值为16.

此题主要考查多项式函数的导数，函数单调性的判定，函数最值，函数、方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力，难度不大．
（1）首先求出函数的导数，然后f′（-1）=0，f′（）=0，解出a、b的值，进而求出解析式
（2）f′（x）＜0，求出函数的单调区间；
（3）由（1）求出端点处函数值，从而求出函数f（x）在[-1，2]上的最大值和最小值．
解：(1) f ¢(x)＝12x²＋2ax＋b.?由题设知x ＝ 与x ＝－1时函数有极值．
则x ＝ 与x ＝－1满足f ¢(x)＝0．
解得a ＝－3，b ＝－18． ∴f(x)＝ 4x³－3x²－18x＋5． ……4分
(2)f ¢(x)＝12x²－6x－18＝6(x＋1)(2x－3)，
令f ¢(x)＞0得：(－∞，－1)和(，＋∞)均为函数的单调递增区间；
(－1，)为函数的单调递减区间． ……8分
(3)极值点（－1, ） 均属于[－1，2]，?
又∵f(－1)＝16,  f(2)＝－11, f()＝－ ,     ……10分
故f(x)在[－1，2]上的最小值是－,最大值为16. ……12分
注：其它解法可酌情给分.