Question

在各项为正的数列{a_n}中，数列的前n项和S_n满足S_n=

1

2

（a_n+

1

an

），
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）由（1）猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）由题设条件，分别令n=1，2，3，能够求出a₁，a₂，a₃．
（2）由（1）猜想数列{a_n}的通项公式：an=

n

-

n-1

(n∈N*)，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．

解答：解：（1）易求得a1=1，a2=

2

-1，a3=

3

-

2

（3分）；
（2）猜想an=

n

-

n-1

(n∈N*)（5分）
证明：①当n=1时，a1=

1

-

0

=1，命题成立  
②假设n=k时，ak=

k

-

k-1

成立，（8分）
则n=k+1时，ak+1=Sk+1-Sk=

1

2

(ak+1+

1

ak+1

)-

1

2

(ak+

1

ak

)=

1

2

(ak+1+

1

ak+1

)-

1

2

(

k

-

k-1

+

1

k - k-1

)=

1

2

(ak+1+

1

ak+1

)-

k

，
所以，

a

2 k+1

+2

k

ak+1-1=0，∴ak+1=

k+1

-

k

．
即n=k+1时，命题成立．
由①②知，n∈N^*时，an=

n

-

n-1

．（12分）

点评：本题是中档题，考查数列递推关系式的应用，数学归纳法证明数列问题的方法，考查逻辑推理能力，计算能力．注意在证明n=k+1时用上假设，化为n=k的形式．