Question

【题目】在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等边三角形， ，AB⊥AD，AB∥CD，点M是PC的中点． （I）求证：MB∥平面PAD；
（II）求二面角P﹣BC﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）取PD中点H，连结MH，AH． 因为 M为 中点，所以 ．
因为 ．所以AB∥HM且AB=HM．
所以四边形ABMH为平行四边形，所以 BM∥AH．
因为 BM平面PAD，AH平面PAD，
所以BM∥平面PAD．
解：（Ⅱ） 取AD中点O，连结PO．
因为 PA=PD，所以PO⊥AD．
因为 平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，PO平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD．取BC中点K，连结OK，则OK∥AB．
以O为原点，如图建立空间直角坐标系，
设AB=2，则 ， ．
平面BCD的法向量 ，
设平面PBC的法向量 ，
由 ，得 令x=1，则 ．
．
由图可知，二面角P﹣BC﹣D是锐二面角，
所以二面角P﹣BC﹣D的余弦值为 ．

【解析】（Ⅰ）取PD中点H，连结MH，AH．推导出四边形ABMH为平行四边形，从而BM∥AH，由此能证明BM∥平面PAD．（Ⅱ） 取AD中点O，连结PO．以O为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P﹣BC﹣D的余弦值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．