【题目】如图,从参加环保知识竞赛的学生中抽出名,将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如下:观察图形,回答下列问题:
(1)这一组的频数、频率分别是多少?
(2)估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、众数、中位数。(不要求写过程)
(3) 从成绩是80分以上(包括80分)的学生中选两人,求他们在同一分数段的概率.
【答案】(1)4;(2)68.5、75、70;(3).
【解析】
试题(1)根据频率分步直方图的意义,计算可得40~50、50~60、60~70、70~80、90~100这5组的频率,由频率的性质可得80~90这一组的频率,进而由频率、频数的关系,计算可得答案;(2)根据频率分步直方图中计算平均数、众数、中位数的方法,计算可得答案;(3)记“取出的2人在同一分数段”为事件E,计算可得80~90之间与90~100之间的人数,并设为a、b、c、d,和A、B,列举可得从中取出2人的情况,可得其情况数目与取出的2人在同一分数段的情况数目,由等可能事件的概率公式,计算可得答案.
解:(1)根据题意,40~50的这一组的频率为0.01×10=0.1,50~60的这一组的频率为0.015×10=0.15,60~70的这一组的频率为0.025×10=0.25,70~80的这一组的频率为0.035×10=0.35,90~100的这一组的频率为0.005×10=0.05,则80~90这一组的频率为1-(0.1+0.15+0.25+0.35+0.05)=0.1,其频数为40×0.1=4;
(2)这次竞赛的平均数为45×0.1+55×0.15+65×0.25+75×0.35+85×0.1+95×0.05=68.5,70~80一组的频率最大,人数最多,则众数为75,70分左右两侧的频率均为0.5,则中位数为70;
(3)记“取出的2人在同一分数段”为事件E,因为80~90之间的人数为40×0.1=4,设为a、b、c、d,90~100之间有40×0.05=2人,设为A、B,从这6人中选出2人,有(a,b)、(a,c)、(a,d)、(a,A)、(a、B)、(b,c)、(b,d)、(b,A)、(b、B)、(c、d)、(c、A)、(c、B)、(d、A)、(d、B)、(A、B),共15个基本事件,其中事件A包括(a,b)、(a,c)、(a,d)、(b,c)、(b,d)、(c、d)、(A、B),共7个基本事件,则P(A)=.
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【题目】已知有限集合,定义如下操作过程
:从
中任取两个元素
、
,由
中除了
、以外的元素构成的集合记为
;①若
,则令
;②若
,则
;这样得到新集合
,例如集合
经过一次操作后得到的集合可能是
也可能得到
等,可继续对取定的
实施操作过程
,得到的新集合记作
,……,如此经过
次操作后得到的新集合记作
,设
,对于
,反复进行上述操作过程,当所得集合
只有一个元素时,则所有可能的集合
为______.
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【题目】(本小题满分13分)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训,现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次,记录如下:
甲:82 81 79 78 95 88 93 84
乙:92 95 80 75 83 80 90 85
(1)用茎叶图表示这两组数据;
(2)现要从中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度(在平均数、方差或标准差中选两个)考虑,你认为选派哪位学生参加合适?请说明理由.
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【题目】已知正三棱柱中,
分别为
的中点,设
.
(1)求证:平面平面
;
(2)若二面角的平面角为
,求实数
的值,并判断此时二面角
是否为直二面角,请说明理由.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,直线
过
,倾斜角为
,以
为极点,
轴在平面直角坐标系
中,直线
,曲线
(
为参数),坐标原点
为极点,以
轴正半轴为极轴,建立极坐标系.
(1)求的极坐标方程;
(2)若曲线的极坐标方程为
,且曲线
分别交
于点
两点,求
的最大值.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数).以坐标原点为极点,以
轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
,曲线
的极坐标方程为
.
(1)当时,求曲线
和曲线
的交点
的直角坐标;
(2)当时,设
,
分别是曲线
与曲线
上动点,求
的最小值.
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