Question

已知平面直角坐标系中三点坐标分别为A（3，0），B（0，4），C（cosθ，sinθ），θ∈R，则△ABC面积的最大值为（　　）

• A、

  7

  2

• B、

  9

  2

• C、

  17

  2

• D、

  21

  2

Answer 1

分析：由A与B两点的坐标求出直线AB的方程，然后利用点到直线的距离公式表示出点C到直线AB的距离h即为三角形ABC中AB边上的高，利用两角和的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域即可得到h的最大值，再利用勾股定理求出线段AB的长度，进而利用三角形的面积公式即可求出面积的最大值．

解答：解：由A（3，0），B（0，4），
得到直线AB的方程为：y-4=

0-4

3-0

x，即4x+3y-12=0，
则点C到直线AB的距离h=

|4cosθ+3sinθ-12|

5

=

|5sin(θ+β)-12|

5

，（其中sinβ=

4

5

，cosβ=

3

5

），
又sin（θ+β）∈[-1，1]，
则当sin（θ+β）=-1时，h_max=

17

5

，
而|AB|=

32+42

=5，
所以△ABC面积的最大值为

1

2

×5×

17

5

=

17

2

．
故选C

点评：此题考查学生灵活运用点到直线的距离公式及勾股定理化简求值，灵活运用两角和的正弦函数公式化简求值，是一道中档题．