Question

已知函数f(x)=

ax2+1

bx+c

，(a，b，c∈Z)是奇函数，f（-1）=-2，f（2）＜3．
（1）求函数f（x）解析式；
（2）若g（x）=x•f（x），?（x）=g[g（x）]-λg（x），试问：是否存在实数λ，使∅（x）在（-∞，-1）内是单调递减，在（-1，0）内是单调递增的，若存在，求λ值；若不存在，说明理由．
（3）附加题：若m(x)=f(x)-

5

x

，研究函数m（x），写出m（x）性质，并画出图象．

Answer 1

分析：（1）由题意可得f（-x）=-f（x），即

a(-x)2+1

-bx+c

=-

ax2+1

bx+c

可求c，再由f（-1）=-2，f（2）＜3结合a，b∈Z 可求a，b，进而可求f（x）
（2）由（1）可得g（x）=xf（x）=1+x²，则∅（x）=g[g（x）]-λg（x）=x⁴+（2-λ）x²+2-λ，对函数求导可得∅′（x）=4x³+2（2-λ）x，若使函数∅（x）在（-∞，-1）内是单调递减，在（-1，0）内是单调递增，则∅；（-1）=0即-4-2（2-λ）=0，可求λ，代入检验是否符合题意
（3）m（x）=f（x）-

5

x

=x-

4

x

，从函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等方面研究函数的性质

解答：解：（1）∵函数f(x)=

ax2+1

bx+c

，(a，b，c∈Z)是奇函数，
∴f（-x）=-f（x）
即

a(-x)2+1

-bx+c

=-

ax2+1

bx+c

∴c=0，f（x）=

ax2+1

bx

∵f（-1）=-2，f（2）＜3．
∴

a+1 -b =-2 4a+1 2b ＜3

∵

a+1=2b 4a+1-6b 2b ＜0

∴

a-2

a+1

＜0，解得-1＜a＜2
∵a∈Z
∴a=0或a=1
当a=0时，b=

1

2

∉Z
当a=1时，b=1，满足题意，此时f（x）=

1+x2

x

（2）∵g（x）=xf（x）=1+x²，
∅（x）=g[g（x）]-λg（x）=g（1+x²）-λ（1+x²）=1+（1+x²）²-λ（1+x²）
=x⁴+（2-λ）x²+2-λ
∴∅′（x）=4x³+2（2-λ）x
若使函数∅（x）在（-∞，-1）内是单调递减，在（-1，0）内是单调递增
则∅；（-1）=0即-4-2（2-λ）=0
∴λ=4，此时∅（x）=x⁴-2x²-2，∅′（x）=4x³-4x=4x（x-1）（x+1）
∅′（x）＞0可得x＞1或-1＜x＜0，即函数在（1，+∞），（-1，0）单调递增
∅′（x）＜0可得0＜x＜1或x＜-1即函数在（0，1），（-∞，-1）单调递减
使∅（x）在（-∞，-1）内是单调递减，在（-1，0）内是单调递增的λ=4
（3）m（x）=f（x）-

5

x

=x-

4

x

，图象如右
定义域：（-∞，0）∪（0，+∞）
值域：R
奇偶性：m（-x）=-x+

4

x

=-m（x），函数为奇函数
单调性：在（-∞，0），（0，+∞）上单调递增

点评：本题综合考查了函数的奇偶性的应用，利用导数判断函数的单调区间的存在及函数性质的研究，考查了考试探索新问题的能力