Question

【题目】函数f（x）=ka﹣x（k，a为常数，a＞0且a≠1）的图象过点A（0，1），B（3，8）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）= 是奇函数，求b的值；
（3）在（2）的条件下判断函数g（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数f（x）=ka﹣x（k，a为常数，a＞0且a≠1）的图象过点A（0，1），B（3，8），

∴ ，解得 ，

∴ ，

（2）解：由（1）知 ，∵函数 为奇函数，

∴g（﹣x）=﹣g（x）即 ，

∴

∴b=1．

（3）解：由（2）知 ，∴g（x）在（0，+∞）为减函数，

证明：任取x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，则 = ，

∵0＜x1＜x2，∴ ，

∴ ，即g（x1）﹣g（x2）＞0，∴g（x1）＞g（x2）

∴g（x）在（0，+∞）为减函数

【解析】（1）利用待定系数法求解析式即可；（2）利用奇函数的定义得到关于b的等式解之即可；（3）利用单调性的定义进行判断证明．
【考点精析】本题主要考查了函数的奇偶性的相关知识点，需要掌握偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称才能正确解答此题．