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已知数列{an}是首项a1=1的等差数列,其前n项和为Sn,数列{bn}是首项b1=2的等比数列,且把S2=16,b1b3=b4
(1)求数列{an}和数列{bn}的通项公式.
(2)令c1=1,c2k=a2k-1,c2k+1=a2k+kbk,其中k=1,2,3,…,求数列{cn}的前2n+1项和T2n+1
分析:(1)an=1+(n-1)d,bn=2qn-1,由b1b3=b4,得q=
b4
b3
=b1=2,由此能求出数列{an}和数列{bn}的通项公式.
(2)T2n+1=c1+a1+(a2+b1)+a3+(a4+2•b2)+…+a2n-1+(a2n+nbn)=1+S2n+(b1+2b2+…+nbn),令A=b1+2b2+…+nbn,利用错位相减法能求出数列{cn}的前2n+1项和T2n+1
解答:解:(1)设数列{an}的公差为d,数列{bn}的公比为q,
则an=1+(n-1)d,bn=2qn-1
由b1b3=b4,得q=
b4
b3
=b1=2,
∴an=2n-1,bn=2n
(2)T2n+1=c1+a1+(a2+b1)+a3+(a4+2•b2)+…+a2n-1+(a2n+nbn
=1+S2n+(b1+2b2+…+nbn),
令A=b1+2b2+…+nbn
则A=2+2•22+…+n•2n
2A=22+2•23+…+(n-1)•2n+n•2n+1
∴-A=2+22+…+2n-n•2n+1
A=-
2(1-2n)
1-2
+n•2n+1-2n+1+2

S2n=
2n(1+a2n)
2
=4n2
T2n+1=1+4n2+n•2n+1-2n+1+2
=3+4n2+(n-1)•2n+1
点评:本题考查数列通项公式的求法,考查数列的前n项和的求法.解题时要认真审题,仔细解答,注意错位相减法的合理运用.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知数列{an}是首项为3,公差为2的等差数列,其前n项和为Sn,数列{bn}为等比数列,且b1=1,bn>0,数列{ban}是公比为64的等比数列.
(Ⅰ)求{an},{bn}的通项公式;
(Ⅱ)求证:
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
3
4

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知数列{an}是首项a1=
1
4
的等比数列,其前n项和Sn中S3,S4,S2成等差数列,
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=log
1
2
|an|,若Tn=
1
b1b2
+
1
b2b3
+…+
1
bnbn+1
,求证:
1
6
≤Tn
1
2

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知数列{an}是首项为1的等差数列,且公差不为零,而等比数列{bn}的前三项分别是a1,a2,a6
(I)求数列{an}的通项公式an
(II)若b1+b2+…bk=85,求正整数k的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列,又数列{bn}的前n项和Sn=nan
(Ⅰ)求数列{bn}的通项公式;
(Ⅱ)若cn=
1bn(2an+3)
,求数列{cn}的前n项和Tn

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知数列{an}是首项a1=a,公差为2的等差数列,数列{bn}满足2bn=(n+1)an
(1)若a1、a3、a4成等比数列,求数列{an}的通项公式;
(2)若对任意n∈N*都有bn≥b5成立,求实数a的取值范围;
(3)数列{cn}满足 cn+1-cn=(
12
)n(n∈N*)
,其中c1=1,f(n)=bn+cn,当a=-20时,求f(n)的最小值(n∈N*).

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