Question

如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1．
（1）求证：AB∥平面PCD
（2）求证：BC⊥平面PAC
（3）求二面角A-PC-D的平面角a的正弦值．

Answer 1

分析：（1）直接利用线面平行的判定定理证明；
（2）证明BC⊥平面PAC，只需证明BC垂直于面PAC内的两条相交直线即可，由已知可以得到PA垂直于BC，通过解三角形证明AC垂直于BC，然后直接借助于线面垂直的判定证明BC⊥平面PAC；
（3）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，标出点的坐标，求出两个面的法向量，利用两个平面法向量所成角的余弦值得到二面角A-PC-D的平面角α的正弦值．

解答：（1）证明：如图，
∵AB∥DC，且AB?平面PCD，DC?平面PCD．
∴AB∥平面PCD；
（2）证明：在直角梯形ABCD中，过C作CE⊥AB于点E，则四边形ADCE为矩形．
∴AE=DC=1，又AB=2，∴BE=1，在Rt△BEC中，∠ABC=45°，
∴CE=BE=1，CB=

2

．
∴AD=CE=1，
则AC=

AD2+DC2

=

2

，AC²+BC²=AB²．
∴BC⊥AC．
又∵PA⊥平面，∴PA⊥BC，
又PA∩AC=A．
所以BC⊥平面PAC．
（3）解：以A为坐标原点，分别以AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），P（0，0，1），C（1，1，0），D（1，0，0）．
∴

AP

=(0，0，1)，

PC

=(1，1，-1)，

PD

=(1，0，-1)．
设

m

=(a，b，c)为平面PAC的一个法向量，
由

m • AP =0 m • PC =0

，得

c=0 a+b-c=0

，取b=-1，得a=1．
所以

m

=(1，-1，0)．
设

n

=(d，e，f)为平面PCD的一个法向量，
由

n • PC =0 n • PD =0

，得

d+e-f=0 d-f=0

，取f=1，得d=1，e=0．
所以

n

=(1，0，1)．
所以二面角A-PC-D的平面角α的正弦值sinα=|cos＜

m

，

n

＞|=|

m • n

| m |•| n |

|=|

1

2 • 2

|=

1

2

．

点评：本题考查了直线与平面平行的判定，考查了直线与平面垂直的判定，考查了利用空间向量求解二面角的大小，解答的关键是明确二面角的平面角与二面角的两个平面法向量所成角的关系，是中档题．