【题目】已知函数f(x)=ax2+(2a﹣1)x﹣lnx,a∈R.
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线经过点(2,11),求实数a的值;
(2)若函数f(x)在区间(2,3)上单调,求实数a的取值范围;
(3)设 ,若对x1∈(0,+∞),x2∈[0,π],使得f(x1)+g(x2)≥2成立,求整数a的最小值.
【答案】
(1)解:由题意得, ,
∴f'(1)=2(2a﹣1),∵f(1)=3a﹣1,
∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=2(2a﹣1)(x﹣1)+3a﹣1,
代入点(2,11),得a=2
(2)解:∵ ,
∴若函数f(x)在区间(2,3)上单调递增,则y=2ax﹣1≥0在(2,3)恒成立,∴ ,得 ;
若函数f(x)在区间(2,3)上单调递减,则y=2ax﹣1≤0在(2,3)恒成立,∴ ,得 ,
综上,实数a的取值范围为
(3)解:由题意得,fmin(x)+gmax(x)≥2,
∵ ,∴ ,即 ,
由 ,
当a≤0时,∵f(1)<0,则不合题意;
当a>0时,由f'(x)=0,得 或x=﹣1(舍去),
当 时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
当 时,f'(x)>0,f(x)单调递增.
∴ ,即 ,
整理得, ,
设 ,∴ ,∴h(x)单调递增,∵a∈Z,∴2a为偶数,
又∵ , ,
∴2a≥4,
故整数a的最小值为2
【解析】(1)根据题意,对f(x)进行求导,由导数的几何意义分析可得y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程,代入点(2,11),计算可得答案,(2)由函数的导数与函数单调性的关系,分函数在(2,3)上单调递增和单调递减两种情况讨论,综合即可得答案,(3)由题意,fmin(x)+gmax(x)≥2,即 f ( x ) = a x 2 + ( 2 a 1 ) x l n x ≥ ,对f(x)求导后对a进行分类讨论即可得答案.
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点,需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题.
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【题目】下列四个命题中正确是( )
A.函数y=ax(a>0且a≠1)与函数 (a>0且a≠1)的值域相同
B.函数y=与y=的值域相同
C.函数 与 都是奇函数
D.函数y=与y=2x﹣1在区间[0,+∞)上都是增函数.
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【题目】设△ABC的三个内角分别为A,B,C.向量 共线. (Ⅰ)求角C的大小;
(Ⅱ)设角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足2acosC+c=2b,试判断△ABC的形状.
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【题目】对于给定的正整数k,如果各项均为正数的数列{an}满足:对任意正整数n(n>k),an﹣kan﹣k+1…an﹣1an+1…an+k﹣1an+k=an2k总成立,那么称{an}是“Q(k)数列”.
(1)若{an}是各项均为正数的等比数列,判断{an}是否为“Q(2)数列”,并说明理由;
(2)若{an}既是“Q(2)数列”,又是“Q(3)数列”,求证:{an}是等比数列.
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【题目】如图为函数y=f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)图象的一部分,其中点 是图象的一个最高点,点 是与点P相邻的图象与x轴的一个交点.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若将函数f(x)的图象沿x轴向右平移 个单位,再把所得图象上每一点的横坐标都变为原来的 (纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,求函数y=g(x)的单调递增区间.
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【题目】已知命题P:函数 的定义域为R;命题q:x∈R,使不等式a>e2x﹣ex成立;命题“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求实数a的取值范围.
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【题目】如图,在四棱锥 中,底面 是菱形, , 平面 , , , , 是 中点.
(I)求证:直线 平面 .
(II)求证:直线 平面 .
(III)在 上是否存在一点 ,使得二面角 的大小为 ,若存在,确定 的位置,若不存在,说明理由.
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【题目】函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正的常数)的最小正周期为π,当x= 时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是( )
A.f(2)<f(﹣2)<f(0)
B.f(0)<f(2)<f(﹣2)
C.f(﹣2)<f(0)<f(2)
D.f(2)<f(0)<f(﹣2)
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