Question

设实数a，b满足a≠b，求证：a⁴+b⁴＞ab（a²+b²）．

Answer 1

分析：直接利用作差法化简表达式为因式乘积的形式，判断因式的符号，推出结果．

解答：选修4-5：不等式选讲
证明：作差得a⁴+b⁴-ab（a²+b²）=a³（a-b）+b³（b-a）=（a-b）²（a²+ab+b²）．         …（4分）
=（a-b）²[（a+

b

2

）²+

3b2

4

]．                                  …（6分）
因为a≠b，所以a，b不同时为0，故（a+

b

2

）²+

3b2

4

＞0，（a-b）²＞0，
所以（a-b）²[（a+

b

2

）²+

3b2

4

]＞0． 
即有a⁴+b⁴＞ab（a²+b²）．  …（10分）

点评：本题考查不等式的证明，综合法的应用，考查逻辑推理能力．