Question

已知函数f（x）=4sin（x-

π

6

）cosx+1
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若A，B，C是△ABC的三个内角，且f（A）=1，B=

π

4

，又AC=2，求BC边的长．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）借助于两角和与差的正弦公式，并结合二倍角公式进行化简得到f（x）=2sin（2x-

π

6

），然后，借助于三角函数的单调性进行求解；
（Ⅱ）根据f（A）=1，求解得到A=

π

6

或A=

π

2

，然后借助于正弦定理，分两种情形进行讨论即可．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=4sin（x-

π

6

）cosx+1
=2

3

sinxcosx-2cos²x+1
=

3

sin2x-cos2x
=2sin（2x-

π

6

），
∴f（x）=2sin（2x-

π

6

）．
∵-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
∴kπ-

π

6

≤x≤

π

3

+kπ，
∴函数f（x）的单调递增区间[kπ-

π

6

，

π

3

+kπ]（k∈Z）；
（Ⅱ）∵f（A）=1，
∴sin（2A-

π

6

）=

1

2

，
∵0＜A＜π，
∴A=

π

6

或A=

π

2

，
当A=

π

6

时，由正弦定理得

BC

sinA

=

Ac

sinB

，
∴BC=

ACsinA

sinB

=

2sin π 6

sin π 4

=

2

，
当A=

π

2

时，由正弦定理得

BC

sinA

=

Ac

sinB

，
∴BC=

ACsinA

sinB

=

2sin π 2

sin π 4

=2

2

，
∴BC的长为

2

或2

2

．

点评：本题重点考查了三角恒等变换公式、辅助角公式、正弦定理等知识，属于中档题．