Question

“a＞0”是“函数f（x）=ax³-x²+x+1在R上为增函数”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

Answer 1

分析：由f（x）的解析式求出f（x）的导函数，因为函数在R上单调递增，所以得到导函数大于等于0恒成立，分a大于0，a等于0和a小于0三种情况讨论，利用二次函数的图象与x轴的交点及开口方向即可得到根的判别式的正负，得到关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的范围，最后根据充要条件的定义即可得出答案．

解答：解：由函数f（x）=ax³-x²+x+1，得到f′（x）=3ax²-2x+1，
因为函数在R上单调递增，所以f′（x）≥0恒成立，即3ax²-2x+1≥0恒成立，
设h（x）=3ax²-2x+1，
当a＞0时，h（x）为开口向上的抛物线，要使h（x）≥0恒成立即△=4-12a≤0，解得a≥

1

3

；
当a=0时，得到h（x）=-2x+1≥0，解得x≤

1

2

，不合题意；
当a＜0时，h（x）为开口向下的抛物线，要使h（x）≥0恒成立不可能．
综上，a的范围为[

1

3

，+∞）．
又a∈[

1

3

，+∞）⇒a＞0，反之不成立．
故“a＞0”是“函数f（x）=ax³-x²+x+1在R上为增函数”的必要不充分条件．
故选B．

点评：此题考查学生会利用导函数的正负判断函数的单调性，掌握不等式恒成立时所满足的条件，考查了分类讨论的数学思想，是一道综合题．