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【题目】如图,四边形ABCD是矩形,平面ABCD⊥平面BCE,BE⊥EC.

(1)求证:平面AEC⊥平面ABE;
(2)点F在BE上,若DE∥平面ACF,DC=CE= BC=3,求三棱锥A﹣BCF的体积.

【答案】
(1)证明:∵ABCD为矩形,∴AB⊥BC.

∵平面ABCD⊥平面BCE,平面ABCD∩平面BCE=BC,AB平面ABCD,

∴AB⊥平面BCE.

∵CE平面BCE,∴CE⊥AB.

∵CE⊥BE,AB平面ABE,BE平面ABE,AB∩BE=B,

∴CE⊥平面ABE.

∵CE平面AEC,∴平面AEC⊥平面ABE.


(2)解:连接BD交AC于点O,连接OF.

∵DE∥平面ACF,DE平面BDE,平面ACF∩平面BDE=OF,

∴DE∥OF.

又∵矩形ABCD中,O为BD中点,

∴F为BE中点,即BF=FE.

在Rt△BEC中,∵BC=6,EC=3,∴BE=

又AB=DC=3.


【解析】1、根据面面垂直的性质定理可得AB⊥平面BCE,即得CE⊥AB,再根据线面垂直的判定定理可得到CE⊥平面ABE,故得到平面AEC⊥平面ABE.
2、由线面平行的性质定理可得DE∥OF,再利用已知可得BF=FE,利用等体积法可求出 V A-BCF.

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