Question

16．{$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$}构成空间中的一个基底，$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$=$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$是$\overrightarrow{p}$=x₁$\overrightarrow{a}$+y₁$\overrightarrow{b}$+z₁$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{q}$=x₂$\overrightarrow{a}$+y₂$\overrightarrow{b}$+z₂$\overrightarrow{c}$共线的充分不必要条件．

Answer 1

分析 当$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$=$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$时，$\overrightarrow{p}$与$\overrightarrow{q}$共线，判断充分性成立；
当$\overrightarrow{p}$与$\overrightarrow{q}$共线时，不一定满足$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$=$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$，判断必要性不成立．

解答 解：∵{$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$}构成空间中的一个基底，当$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$=$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$时，
不妨设$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$=$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$=λ，则$\overrightarrow{p}$=x₁$\overrightarrow{a}$+y₁$\overrightarrow{b}$+z₁$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{q}$=x₂$\overrightarrow{a}$+y₂$\overrightarrow{b}$+z₂$\overrightarrow{c}$，
∴$\overrightarrow{p}$=λ$\overrightarrow{q}$，$\overrightarrow{p}$与$\overrightarrow{q}$共线，充分性成立；
当$\overrightarrow{p}$=x₁$\overrightarrow{a}$+y₁$\overrightarrow{b}$+z₁$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{q}$=x₂$\overrightarrow{a}$+y₂$\overrightarrow{b}$+z₂$\overrightarrow{c}$共线时，
不妨令x₂=0，y₂=y₁，z₂=z₁，不满足$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$=$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$，必要性不成立；
所以是充分不必要条件．
故答案为：充分不必要．

点评 本题考查了充分与必要条件的判断问题，也考查了空间向量的应用问题，是基础题目．