Question

已知数列{a_n}满足a_n+1=且a₁=1，则a₃-a₁=________；若设b_n=a_2n+2-a_2n，则数列{b_n}的通项公式为________．

Answer 1

-5    b_n=-5（-2）^n-1
分析：（1）对于{a_n}的对应法则，分别取n=1和n=2，算出a₂、a₃之值，即可得到a₃-a₁=-5；
（2）由{a_n}的递推关系，算出a_2n+2=-2a_2n+1，从而得到b_n=-3a_2n+1，进而有b_n+1=6a_2n-2=-2b_n，所以{b_n}构成首项是-5，公比为-2的等比数列，根据等比数列通项公式可算出数列{b_n}的通项公式．
解答：（1）∵a_n+1=，
∴a₂=a₁₊₁=a₁+1=2，而a₃=a₂₊₁=-2a₂=-4，
因此，a₃-a₁=-4-1=-5．
（2）根据题意，得a_2n+2=a_2n+1+1=-2a_2n+1，
∴b_n=a_2n+2-a_2n=-3a_2n+1，
从而b_n+1=-3a_2n+2+1=-3（-2a_2n+1）+1=6a_2n-2，
∴b_n+1=-2b_n，
可得{b_n}构成首项b₁=a₄-a₂=-5，公比为-2的等比数列，
因此，数列{b_n}的通项公式为b_n=-5（-2）^n-1．
故答案为：-5，b_n=-5（-2）^n-1
点评：本题给出数列{a_n}递推式，求数列b_n=a_2n+2-a_2n的通项公式，着重考查了数列递推关系和等比数列的通项公式等知识，属于中档题．