Question

若函数f（x）=-

1

b

eax在x=0处的切线l与圆C：

x=cosθ y=sinθ

（θ∈[0，2π））相离，则P（a，b）与圆C的位置关系是
（　　）

A．在圆外

B．在圆内

C．在圆上

D．不能确定

Answer 1

分析：利用导数求出曲线f（x）=-

1

b

eax在x=0处的切线l的方程，化圆的参数方程为普通方程，由圆心到直线的距离大于半径得到

a2+b2

＜1，说明点P（a，b）与圆C的位置关系是点在圆内．

解答：解：由f（x）=-

1

b

eax，得f′(x)=-

1

b

eax(ax)′=-

a

b

eax．
∴f′(0)=-

a

b

．
即函数f（x）=-

1

b

eax在x=0处的切线l的斜率为-

a

b

．
由f(0)=-

1

b

，则切点为（0，-

1

b

），
∴切线方程为：y+

1

b

=-

a

b

(x-0)，
整理得：ax+by+1=0．
由圆C：

x=cosθ y=sinθ

，化为普通方程得：x²+y²=1．
直线l与圆相离，则圆心（0，0）到直线距离大于半径r=1．
∴

1

a2+b2

＞1，即

a2+b2

＜1．也就是P到圆心距离小于圆的半径．
∴P在圆内．
故选：B．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了点到直线的距离公式，体现了整体运算思想方法，是中档题．