Question

13．已知函数f（x）=2asinωxcosωx+2$\sqrt{3}$cos²ωx-$\sqrt{3}$（a＞0，ω＞0）的最大值为2，且最小正周期为π．
（1）求函数f（x）的解析式及对称轴方程；
（2）若f（α）=$\frac{4}{3}$，求cos（4α+$\frac{2π}{3}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=$\sqrt{{a}^{2}+3}$sin（2ωx+φ），由周期公式可求ω，由f（x）最大值为2，故$\sqrt{{a}^{2}+3}$=2，又a＞0，解得a，可得函数解析式，
令2x+$\frac{π}{3}$=k$π+\frac{π}{2}$，解得f（x）的对称轴．
（2）由f（α）=$\frac{4}{3}$，可得sin（2α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{2}{3}$，由二倍角的余弦函数公式即可求值．

解答 （本题满分为14分）
解：（1）f（x）=2asinωxcosωx+2$\sqrt{3}$cos²ωx-$\sqrt{3}$
=asin2ωx+$\sqrt{3}$cos2ωx
=$\sqrt{{a}^{2}+3}$sin（2ωx+φ），
由题意可知：f（x）的周期为π，由$\frac{2π}{2ω}$=π，解得ω=1．
由f（x）最大值为2，故$\sqrt{{a}^{2}+3}$=2，又a＞0，解得a=1．
所以可得：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
令2x+$\frac{π}{3}$=k$π+\frac{π}{2}$，解得f（x）的对称轴为：x=$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{12}$（k∈Z）…7分
（2）由f（α）=$\frac{4}{3}$，可得2sin（2α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{4}{3}$，即sin（2α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{2}{3}$，
可得：cos（4α+$\frac{2π}{3}$）=cos2（2α+$\frac{π}{3}$）=1-2sin²（2α+$\frac{π}{3}$）=1-2×（$\frac{2}{3}$）²=$\frac{1}{9}$…14分

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象与性质，属于基本知识的考查．