Question

已知数列{a_n}中，其前n项和为S_n，满足S_n=2a_n-1，n∈N*，数列{b_n}满足
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设数列{a_nb_n}的n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题设条件先求出a_n=2a_n-1，从而得到a_n=2^n-1，再由求出数列{b_n}的通项公式．
（2）因为{a_nb_n}=n•2^n-1，所以由错位相减法可知数列{a_nb_n}的n项和为T_n．
解答：（1）解：当n=1时，a₁=S₁=2a₁-1，a₁=1
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-1）-（2a_n-1-1），∴a_n=2a_n-1
∴数列{a_n}是首项为a₁=1，公比为2的等比数列，
∴数列{a_n}的通项公式是a_n=2^n-1（2分），∴数列{b_n}的通项公式是b_n=n
（2{a_nb_n}=n•2^n-1
∴T_n=1×2+2×2¹+3×2²++（n-1）•2^n-2+n•2^n-12T_n=1×2¹+2×2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ
∴-T_n=1+2¹+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=2ⁿ-1-n•2ⁿ•
∴T_n=（n-1）•2ⁿ+1．
点评：本题考查数列的通项公式的求法和数列的求和，解题时要注意错位相减求和法的熟练运用．