Question

圆锥的轴截面为等腰直角三角形SAB，Q为底面圆周上一点．
（Ⅰ）如果BQ的中点为C，OH⊥SC，求证：OH⊥平面SBQ；
（Ⅱ）如果∠AOQ=60°，QB=2

3

，求此圆锥的体积；
（Ⅲ）如果二面角A-SB-Q的大小为arctan

6

3

，求∠AOQ的大小．

Answer 1

分析：（I）连接OC、AQ，由三角形中位线定理可得OC∥AQ，由圆周角定理我们可得OC⊥BQ，由圆锥的几何特征，可得SO⊥BQ，进而由线面垂直的判定定理，得到QB⊥平面SOC，则OH⊥BQ，结合OH⊥SC及线面垂直的判定定理得到OH⊥平面SBQ；
（Ⅱ）若∠AOQ=60°，易得∠OBQ=∠OQB=30°，又由QB=2

3

，我们求出圆锥的底面半径OA长及圆锥的高SO，代入圆锥体积公式，即可得到圆锥的体积；
（Ⅲ）作QM⊥AB于点M，由面面垂直的判定定理可得QM⊥平面SAB，作MP⊥SB于点P，连QP，则∠MPQ为二面角A-SB-Q的平面角，根据二面角A-SB-Q的大小为arctan

6

3

，设OA=OB=R，∠AOQ=α，进而可求出∠AOQ的大小．

解答：证明：（I）连接OC、AQ，
因为O为AB的中点，所以OC∥AQ．
因为AB为圆的直径，所以∠AQB=90°，OC⊥BQ．
因为SO⊥平面ABQ，所以SO⊥BQ，所以QB⊥平面SOC，OH⊥BQ．又OH⊥SC，SC∩BQ=C，所以OH⊥平面SBQ．
解：（II）∵∠AOQ=60°
∴∠OBQ=∠OQB=30°
∵BQ=2

3

∴AB=4，AQ=2，又SA⊥SB，SA=SB=2

2

∴SO=OA=BO=2
∴V=

1

3

π•OA2•SO=

8π

3

．
（III）作QM⊥AB于点M，∵平面SAB⊥平面ABQ且平面SAB∩平面ABQ=AB
∴QM⊥平面SAB．
再作MP⊥SB于点P，连QP
∴QP⊥SB
∴∠MPQ为二面角A-SB-Q的平面角
∴∠MPQ=arctan

6

3

．
∴MQ：MP=

6

：3．
设OA=OB=R，∠AOQ=α
∴MQ=Rsinα，OM=Rcosα，MB=R（1+cosα），∠SBA=45°
∴MP=BP
∴MP=

2

2

MB=

2

2

R（1+cosα）
∴Rsinα：

2

2

R（1+cosα）=

6

：3．
∴

1+cosα

sinα

=

3

∴cot

α

2

=

3

解得α=60°，∠AOQ=60°．

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，圆锥的体积，直线与平面垂直的判定，其中（I）的关键是熟练掌握空间线线垂直，线面垂直的相互转化，（II）的关键是求出底面半径及高，（III）的关键是确定∠MPQ为二面角A-SB-Q的平面角．