Question

【题目】如图所示，在三棱柱中，侧面为菱形，，，侧面为正方形，平面平面.点为线段的中点，点在线段上，且.

（1）证明：平面平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）由题意易知和，根据面面垂直的性质定理可证，进而平面，再根据面面垂直的判定定理，即可证明结果；

（2）根据题意，设的中点为点，以点为坐标原，分别以向量，，为轴，轴，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量法即可求出结果.

（1）连接，，因为四边形为菱形，，所以为等边三角形.而点为中点，所以.

又平面平面，

所以平面，所以.

而四边形为正方形，所以.

而，所以.

又因为，所以平面.

又因为平面，所以平面平面.

（2）设的中点为点，以点为坐标原，分别以向量，，为轴，轴，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，

则有，，，.

，，

，所以.

又，，

所以.

设平面的法向量为，则，所以.

取，则，

.

设为直线与平面所成的角，

所以，

所以直线与平面所成角的正弦值为.