Question

已知f（x）=log_ax（a＞0，a≠1），设数列f（a₁），f（a₂），f（a₃），…，f（a_n）…是首项为4，公差为2的等差数列．
（I）设a为常数，求证：{a_n}成等比数列；
（II）设b_n=a_nf（a_n），数列{b_n}前n项和是S_n，当a=

2

时，求S_n．

Answer 1

分析：（I）先利用条件求出f（a_n）的表达式，进而求出{a_n}的通项公式，再用定义来证{a_n}是等比数列即可；
（II）先求出数列{b_n}的通项公式，再对数列{b_n}利用错位相减法求和即可．

解答：证明：（I）f（a_n）=4+（n-1）×2=2n+2，
即log_aa_n=2n+2，可得a_n=a²ⁿ⁺²．
∴

an

an-1

=

a2n+2

a2(n-1)+2

=

a2n+2

a2n

=a2(n≥2，n∈N*)为定值．
∴{a_n}为等比数列．（5分）
（II）解：b_n=a_nf（a_n）=a²ⁿ⁺²log_aa²ⁿ⁺²=（2n+2）a²ⁿ⁺²．（7分）
当a=

2

时，bn=anf(an)=(2n+2)(

2

)2n+2=(n+1)2n+2．（8分）
S_n=2×2³+3×2⁴+4×2⁵++（n+1）•2ⁿ⁺² ①
2S_n=2×2⁴+3×2⁵+4×2⁶++n•2ⁿ⁺²+（n+1）•2ⁿ⁺³ ②
①-②得-S_n=2×2³+2⁴+2⁵++2ⁿ⁺²-（n+1）•2ⁿ⁺³（12分）
=16+

24(1-2n-1)

1-2

-（n+1）•2ⁿ⁺³=16+2ⁿ⁺³-2⁴-n•2ⁿ⁺³-2ⁿ⁺³．
∴S_n=n•2ⁿ⁺³．（14分）

点评：本题的第二问考查了数列求和的错位相减法．错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．