Question

5．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E，F分别为BC，BB₁，AA₁的中点，求证：平面B₁FC∥平面EAD．

Answer 1

分析 由已知四边形AFB₁E是平行四边形，从而AE∥平面B₁FC，由三角形中位线定理得DE∥B₁C，从而DE∥平面B₁FC，由此能证明平面B₁FC∥平面EAD．

解答 证明：∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E，F分别为BC，BB₁，AA₁的中点，
∴AF∥B₁E，AF=B₁E，
∴四边形AFB₁E是平行四边形，
∴AE∥FB₁，
又∵AE?面B₁FC，FB₁?面B₁FC，∴AE∥平面B₁FC，
∵D，E分别是BC，BB₁中点，∴DE∥B₁C，
∵DE?面B₁FC，B₁C?面B₁FC，
∴DE∥平面B₁FC，∵AE?EAD，DE?平面EAD，且AE∩DE=E，
∴平面B₁FC∥平面EAD．

点评 本题考查面面平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．