Question

已知角A，B，C是△ABC的内角，a，b，c分别是其对边长，向量

m

=(2

3

sin

A

2

，cos2

A

2

)，

n

=(cos

A

2

，-2)，

m

⊥

n

．
（1）求角A的大小；
（2）若a=2，cos B=

3

3

，求b的长．

Answer 1

分析：（1）由两向量的坐标，根据两向量垂直满足的关系列出关系式，整理后化为一个角的正弦函数，根据A的范围求出这个角的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（2）由cosB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，再由a，sinA的值，利用正弦定理即可求出b的值．

解答：解：（1）∵

m

=（2

3

sin

A

2

，cos²

A

2

），

n

=（cos

A

2

，-2），且

m

⊥

n

，
∴2

3

sin

A

2

cos

A

2

-2cos²

A

2

=

3

sinA-cosA-1=0，即

3

sinA-cosA=1，
整理得：2sin（A-

π

6

）=1，即sin（A-

π

6

）=

1

2

，
∵0＜A＜π，∴-

π

6

＜A-

π

6

＜

5π

6

，
∴A-

π

6

=

π

6

，即A=

π

3

；
（2）在△ABC中，A=

π

3

，a=2，cosB=

3

3

，
∴sinB=

1-cos2B

=

6

3

，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：b=

asinB

sinA

=

2× 6 3

3 2

=

4 2

3

．

点评：此题考查了正弦定理，平面向量的数量积运算，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．