Question

已经矩阵M=

4 0 0 5

．
（1）求直线4x-10y=1在M作用下的方程；
（2）求M的特征值与特征向量．

Answer 1

考点：特征值与特征向量的计算

专题：矩阵和变换

分析：本题（1）称由矩阵变换得到直线4x-10y=1上的点与所得曲线上点的坐标关系，再用代入法求出所得曲线的方程；（2）根据矩阵求出对应的特征多项式，再解相关的方程得到特征值，由特征值求出本应的特征向量，得到本题结论．

解答： 解：（1）设直线4x-10y=1上任意一点P′（x′，y′）在矩阵M作用下对应点P（x，y），
∵M=

4 0 0 5

，
∴

4 0 0 5

•

x′ y′

=

x y

，
∴

x=4x′ y=5y′

，
∴

x′= 1 4 x y′= 1 5 y

，
代入4x-10y=1，得到：x-2y=1．
∴直线4x-10y=1在M作用下的方程为：x-2y-1=0．
（2）矩阵M的特征多项式f（λ）=

.

λ-4 0 0 λ-5

.

=（λ-4）（λ-5），
令f（λ）=0，
∴λ₁=4，λ₂=5． 
∴M的特征值为λ₁=4，λ₂=5．
当λ₁=4时，由Mα₁=λ₁α₁，得特征向量α₁=

1 0

，
当λ₂=5时，由Mα₂=λ₂α₂，得特征向量α₂=

0 1

．

点评：本题考查了矩阵与曲线变换方程的关系、矩阵的特征值和特征向量，本题难度不大，属于基础题．