Question

由坐标原点O向曲线y=x³-3ax²+bx（a≠0）引切线，切于O以外的点P₁（x₁，y₁），再由P₁引此曲线的切线，切于P₁以外的点P₂（x₂，y₂），如此进行下去，得到点列{ P_n（x_n，y_n}}．
求：（Ⅰ）x_n与x_n-1（n≥2）的关系式；
（Ⅱ）数列{x_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f'（x）=3x²-6ax+b过点P₁（x₁，y₁）的切线为l₁：y-y₁=f'（x₁）（x-x₁）（x₁≠0），由l₁过原点，解得x₁=

3

2

a．则过点P_n（x_n，y_n）的切线为l_n：y-y_n=f'（x_n）（x-x_n），由此能求出x_n与x_n-1（n≥2）的关系式．
（Ⅱ）由（I）得数列{xn-a}是首项为

a

2

，公比为-

1

2

的等比数列．由此能求出数列{x_n}的通项公式．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=3x²-6ax+b过点P₁（x₁，y₁）的切线为l₁：y-y₁=f'（x₁）（x-x₁）（x₁≠0），
∵l₁过原点，
∴-(

x

3 1

-3a

x

2 1

+bx1)=(-x1)(3

x

2 1

-6ax1+b)，解得x1=

3

2

a．…（2分）
则过点P_n（x_n，y_n）的切线为l_n：y-y_n=f'（x_n）（x-x_n），
∵l_n过点P_n-1（x_n-1，y_n-1），
∴y_n-1-y_n=f'（x_n）（x_n-1-x_n）…（6分）
整理得[

x

2 n-1

+xn-1xn-2

x

2 n

-3a(xn-1-xn)](xn-1-xn)=0．
∴(xn-1-xn)2(xn-1+2xn-3a)=0，
由x_n≠x_n-1，得x_n-1+2x_n-3a=0，
∴xn=-

1

2

xn-1+

3

2

a，n≥2，（8分）．
（Ⅱ）由（I）得，xn-a=-

1

2

(xn-1-a)．…(10分)，
∴数列{xn-a}是首项为

a

2

，公比为-

1

2

的等比数列．…（12分）
∴xn-a=

a

2

(-

1

2

)n-1，
∴xn=[1-(-

1

2

)n]a．…（14分）

点评：本题考查数列的通项公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等比数列、导数、切线方程等知识点的灵活运用．