Question

已知
（I）求的值；
（II）求证：与互相垂直；
（III）设且k≠0，求β-α的值．

Answer 1

解：（I）解：∵，
∴．（3分）
（II）证明：∵（）•（）
=（cosα+cosβ）（cosα-cosβ）+（sinα+sinβ）（sinα-sinβ）（6分）
=cos²α-cos²β+sin²α-sin²β
=0，
∴（）⊥（）．（8分）
（III）解：∵，
∴=（cosα-kcosβ，sinα-ksinβ），（10分）
∴
=，（12分）

=，
∵|k+|=|-k|，
∴，
整理，得2kcos（β-α）=-2kcos（β-α）
又k≠0，∴cos（β-α）=0
∵0＜α＜β＜π，
∴0＜β-α＜π，
∴．（14分）
分析：（I）由，能求出的值．
（II）由（）•（）=（cosα+cosβ）（cosα-cosβ）+（sinα+sinβ）（sinα-sinβ）=0，能证明（）⊥（）．
（III）由，=（cosα-kcosβ，sinα-ksinβ）和|k+|=|-k|，能够求出．
点评：本题考查向量的模的求法，求证：与互相垂直和求β-α的值．综合性强，较繁琐，容易出错．解题时要认真审题，注意三角函数恒等变换的灵活运用．