Question

已知函数f(x)=-

1

3

x3+bx2-3a2x(a≠0)在x=a处取得极值．
（Ⅰ）求

b

a

；
（Ⅱ）设函数g（x）=2x³-3af′（x）-6a³，如果g（x）在开区间（0，1）上存在极小值，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求导函数，然后根据导数的几何意义可知f'（a）=0，可求出

b

a

的值；
（2）将b用a表示，可求出函数g（x）的解析式，讨论a的正负，分别求出函数的极值点，使极值点在开区间（0，1）上，建立不等式关系，解之即可．

解答：解（1）f'（x）=-x²+2bx-3a²
由题意知f'（a）=-a²+2ba-3a²=0则b=2a
∴

b

a

=2
（2）由已知可得g（x）=2x³+3ax²-12a²x+3a³
则g'（x）=6x²+6ax-12a²=6（x-a）（x+2a）
令g'（x）=0，得x=a或x=-2a
若a＞0，当x＜-2a或x＞a时，g'（x）＞0；
当-2a＜x＜a时，g'（x）＜0
所以当x=a时，g（x）有极小值，
∴0＜a＜1
若a＜0，当x＜a或x＞-2a时，g'（x）＞0；
当a＜x＜-2a时，g'（x）＜0
所以当x=-2a时，g（x）有极小值，
∴0＜-2a＜1即-

1

2

＜a＜0
所以当-

1

2

＜a＜0或0＜a＜1时，g（x）在开区间（0，1）上存在极小值．

点评：本题主要考查了函数在某点取得极值的条件，以及利用导数法求极值，同时考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题．