Question

如图，已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率e=，F₁、F₂分别为双曲线C的上、下焦点，M为上准线与渐近线在第一象限的交点，且=-1．
（1）求双曲线C的方程；
（2）直线l交双曲线C的渐近线l₁、l₂于P₁、P₂，交双曲线于P、Q，且，求||的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出焦点坐标，利用=-1，结合离心率，求出a，c，b，即可求双曲线C的方程；
（2）设出直线l的方程，求出直线交双曲线C的渐近线l₁、l₂于P₁、P₂，结合，通过P在双曲线上，通过弦长公式求||的最小值．
解答：解：（1）设F₁（0，c），F₂（0，c）则M（），由=-1，
得=a²-c²=-1；
∵，
∴，
所以双曲线C的方程为：y²-x²=1．…（6分）
（2）设直线l的方程为y=kx+b，交双曲线C的渐近线l₁、l₂于P₁（），P₂（）；
由可得P
因为P在双曲线上，所以，
所以8b²=9（1-k²），
联立得即（k²-1）x²+2kbx+b²-1=0…（10分）
∴==≥．
当且仅当k=0时取等号．
点评：此题是难题．考查双曲线的定义和简单的几何性质，以及直线和椭圆相交中的有关中点弦的问题，综合性强，特别是问题（2）的设问形式，增加了题目的难度，注意直线与圆锥曲线相交弦长的求法．体现了数形结合和转化的思想方法．