Question

已知f（x）是以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]，f（x）=x，那么在区间[-1，3]内，关于x的方程4f（x）=x+m（其中m为实常数）有四个不同的实根，则m的取值范围是______．

Answer 1

因为关于x的方程4f（x）=x+m有4个不同的根，
就是函数y=f（x）的图象与y=

1

4

（x+m）的图象有4个不同的交点，
f（x）是以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x，
所以可以得到函数f（x）的图象
又因为y=

1

4

（x+m）是一组斜率为

1

4

的平行直线系，
在同一坐标系内画出它们的图象如图，
由图得y=

1

4

（x+m）在过点A（3，1）的直线y=

1

4

（x+1）和y=

1

4

x中间时符合要求，
所以m的取值范围是0＜k≤1．
故答案为：（0，1]．