Question

（2012•崇明县一模）如图，已知椭圆C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）过点P（

2

，

6

），上、下焦点分别为F₁、F₂，向量

PF1

⊥

PF2

．直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB中点为m（

1

2

，-

3

2

）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求直线l的方程；
（3）记椭圆在直线l下方的部分与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D，若曲线x²-2mx+y²+4y+m²-4=0与区域D有公共点，试求m的最小值．

Answer 1

分析：（1）把点B代入椭圆的方程，利用向量垂直，及几何量之间的关系，联立方程求得a和b，则椭圆的方程可得；
（2）分类讨论，利用线段AB中点坐标，结合韦达定理，可求直线的方程；
（3）把圆的方程整理成标准方程求得圆心和半径，进而利用图象可知只须考虑m＜0的情形．设出圆与直线的切点，利用点到直线的距离求得m，进而可求得过点G与直线l垂直的直线的方程，把两直线方程联立求得T，因为区域D内的点的横坐标的最小值与最大值分别为-1，2，所以切点T∉D，由图可知当⊙G过点B时，m取得最小值，利用两点间的距离公式求得m的最小值．

解答：解：（1）∵椭圆C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）过点P（

2

，

6

），∴

6

a2

+

2

b2

=1
∵向量

PF1

⊥

PF2

，∴4c²=2+（

6

-c）²+2+（

6

-c）²，∴c=2

2

又a²=b²+c²，∴a²=12，b²=4
∴椭圆方程为

y2

12

+

x2

4

=1
（2）①当斜率k不存在时，由于点M不是线段AB的中点，所以不符合要求；
②当斜率k存在时，设直线l方程为y+

3

2

=k（x-

1

2

），代入椭圆方程整理得
（3+k²）x²-（k²+3k）x+

1

4

k²-

39

4

=0
∵线段AB中点为m（

1

2

，-

3

2

），∴

1

2

=

k2+3k

2(3+k2)

∴k=1
∴直线l：x-y-2=0
（3）化简曲线方程得：（x-m）²+（y+2）²=8，是以（m，-2）为圆心，2

2

为半径的圆．
表示圆心在直线y=-2上，半径为2

2

的动圆．
由于要求实数m的最小值，由图可知，只须考虑m＜0的情形．
当圆与直线相切时，

|m+2-2|

2

=2

2

，此时为m=-4，圆心（-4，-2）．
当m=-4时，过点G（-4，-2）与直线l垂直的直线l'的方程为x+y+6=0，
解方程组

x+y+6=0 x-y-2=0

，得T（-2，-4）．
因为区域D内的点的横坐标的最小值与最大值分别为-1，2，
所以切点T∉D，由图可知当⊙G过点B时，m取得最小值，即（-1-m）²+（-3+2）²=8，解得m_min=-

7

-1．

点评：本题考查椭圆与直线的方程，考查直线与圆锥曲线的综合问题，同时考查了知识的综合运用和数形结合的方法的应用．