Question

已知点M（-2，0），N（2，0），动点P满足条件|PM|-|PN|=2

2

．记动点P的轨迹为W．若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点．
（1）求W的方程；
（2）若AB的斜率为2，求证

OA

•

OB

为定值．
（3）求

OA

•

OB

的最小值．

Answer 1

分析：（1）据题意应为双曲线一支，由c=2，a=

2

，能得到曲线方程．
（2）设AB：y=2x+b，将其代入x²-y²=2，得3x²+4bx+b²+2=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韦达定理能够证明

OA

•

OB

为定值．
（3）法一：当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x=x₀，此时A（x₀，

x 2 0 -2

），B（x₀，-

x 2 0 -2

），

OA

•

OB

=2．当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+b，代入双曲线方程

x2

2

-

y2

2

=1中，得：（1-k²）x²-2kbx-b²-2=0．依题意知

△=4k2b2-4(1-k2)•(-b2-2)≥0 x1+x2= 2kb 1-k2 ＞0 x1x2= b2+2 k2-1 ＞0

，由此能够解得

OA

•

OB

的最小值为2．
法二：，A，B在右支，故x₁，x₂＞0，

OA

•OB

=x1x2+y1y2=

2+y12

•

2+y22

+y1y2=

y12y22+4(y12+y22)+4

+y1y2≥

y12y22+4|y1y2|+4

+y1y2=|y1y2|+2+y1y2≥2．由此能够解得

OA

•

OB

的最小值为2．

解答：解：（1）据题意应为双曲线一支，
c=2，a=

2

，
∴曲线方程为x²-y²=2（x≥

2

）．（2分）
（2）设AB：y=2x+b，
将其代入x²-y²=2，得3x²+4bx+b²+2=0…（1）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁，x₂为（1）的两根．x1+x2=-

4b

3

，x1x2=

b2+2

3

，

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=x1x2+(2x1+b)(2x2+b)=5x1x2+2b(x1+x2)+b2
=5•

b2+2

3

+2b•(-

4b

3

)+b2=

10

3

，是定值．（8分）
（3）法一：当直线AB的斜率不存在时，
设直线AB的方程为x=x₀，
此时A（x₀，

x 2 0 -2

），B（x₀，-

x 2 0 -2

），

OA

•

OB

=2
当直线AB的斜率存在时，
设直线AB的方程为y=kx+b，
代入双曲线方程

x2

2

-

y2

2

=1中，
得：（1-k²）x²-2kbx-b²-2=0
依题意可知方程1？有两个不相等的正数根，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则

△=4k2b2-4(1-k2)•(-b2-2)≥0 x1+x2= 2kb 1-k2 ＞0 x1x2= b2+2 k2-1 ＞0

，
解得|k|＞1，
又

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+b）（kx₂+b）
=（1+k²）x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²=

2k2+2

k2-1

=2+

4

k2-1

＞2   
  综上可知

OA

•

OB

的最小值为2（14分）
法二：，A，B在右支，
故x₁，x₂＞0，

OA

•OB

=x1x2+y1y2=

2+y12

•

2+y22

+y1y2
=

y12+y22+2(y12y22)+4

+y1y2
≥

y12+y22+4|y1y2|+4

+y1y2
=|y₁y₂|+2+y₁y₂≥2，y₁=-y₂时，“=”成立，
故

OA

•

OB

的最小值为2．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．